Fourier: una esquina hecha con puras curvas
Una onda cuadrada tiene esquinas perfectas y saltos verticales. Se puede construir sumando senos, que no tienen ni una esquina en ninguna parte.
Qué estás viendo
- La línea punteada es la onda que se busca. La dorada es la suma, y al principio no se parece en nada a ella.
- Detrás, tenues, están los armónicos sueltos: todos son curvas suaves, sin una sola esquina. La esquina es lo que queda cuando se cancelan entre ellos.
- Mira los bordes del salto: las orejitas no desaparecen nunca, por muchos términos que se sumen. Sólo se angostan.
01Una idea de ambición desmedida
Fourier afirmó algo que a sus contemporáneos les pareció excesivo: cualquier señal periódica, por rara que sea, es una suma de senos y cosenos. Con esquinas o sin ellas. Sólo hay que dar con las amplitudes correctas.
Para una onda cuadrada la receta resulta sorprendentemente limpia: se suman los armónicos impares —el primero, el tercero, el quinto— cada uno con amplitud 1/k. Los pares valen exactamente cero.
02Cómo aparece una esquina
Con un solo término la suma es un seno y no se parece a nada. Con tres, ya se adivina un escalón. Con veinticinco cuesta creer que en todo el dibujo no haya ni una sola recta.
Los armónicos tenues del fondo son la clave: cada uno es una curva suave. Lo que produce el borde vertical no es ninguno de ellos, sino cómo se cancelan entre sí en unos lugares y se refuerzan en otros.
03Las orejas que no se van
Fíjate en los bordes del salto. Ese sobresalto no es un defecto de la animación ni un error de redondeo: es el fenómeno de Gibbs.
Y lo notable es que no se achica. Por muchos términos que agregues, el sobresalto se mantiene en torno al 9 % del salto; lo único que ocurre es que se hace más angosto.
Dicho con precisión: la serie converge a la onda cuadrada en cada punto, pero nunca de forma uniforme. Es la clase de detalle que parece pedante hasta que te muerde en un filtro digital real.
Dónde se usa esto
El JPEG de tus fotos
Descompone cada bloque de la imagen en frecuencias y tira las que el ojo no nota. Comprimir es, literalmente, decidir qué armónicos se pueden perder.
El MP3 y todo el audio
Mismo principio con sonido. Y el ecualizador de tu aplicación de música mueve exactamente estas componentes: subir los graves es amplificar ciertos términos de la suma.
Una resonancia magnética
La máquina no mide una imagen: mide frecuencias. La imagen que ve el médico es una transformada de Fourier aplicada a lo que registraron las antenas.
Un afinador de guitarra
Para saber qué nota tocaste hay que separar el sonido en sus frecuencias y quedarse con la dominante. Lo hace mil veces por segundo, en tu teléfono.
Para explicárselo a un niño
La idea, en simpleMuchas cosas redondas y suaves, sumadas con cuidado, pueden formar algo con puntas. Como cuando muchas voces distintas cantan juntas y aparece un sonido que ninguna hacía sola.
- Que dibuje en un papel una línea ondulada suave, como una loma. Después otra más chiquitita y más apretada encima de la primera.
- Que sume las dos alturas en cada punto y dibuje el resultado. Va a ser más angulosa que cualquiera de las dos.
- Con una guitarra o un piano: toquen una sola cuerda y después varias juntas. El sonido de varias no se parece al de ninguna, pero es la suma de todas.
La pregunta para dejarlos pensandoSi sumando curvas se puede hacer una punta, ¿se podrá dibujar cualquier cosa sumando suficientes curvas?
Para usar en clase
Diez minutos con la animación, listos para llevar a una sala. Es libre bajo CC BY 4.0, como el resto.
- Pon dos notas distintas al mismo tiempo en cualquier teclado o aplicación de tono. El curso escucha UNA cosa.
- Pregunta: «¿cuántos sonidos hay?». Discutan. El aire lleva una sola onda; el oído separa dos.
- Pon la animación: es esa separación, hecha explícita. Cada componente con su frecuencia y su peso.
- Cierra con el salto: si sabes cuánto pesa cada componente, puedes botar las que casi no pesan. Eso es un MP3 y eso es un JPEG.
¿Qué está botando un MP3 cuando comprime?
Respuesta: Las componentes que el oído no va a echar de menos: las muy agudas, y las que quedan tapadas por otras más fuertes cerca. No recorta el archivo al azar; recorta en el espacio de frecuencias.
¿Por qué una imagen muy comprimida se ve «cuadriculada»?
Respuesta: Porque un JPEG descompone la imagen en bloques y bota las componentes de detalle fino de cada uno. Cuando se botan demasiadas, lo que queda es el bloque.
Una resonancia magnética no mide una imagen: mide frecuencias. ¿Cómo aparece entonces la imagen?
Respuesta: Se reconstruye haciendo la operación al revés: de las frecuencias medidas se arma el mapa espacial. La máquina nunca «ve» nada, calcula.
Cuesta aceptar que dos notas simultáneas sean una sola onda en el aire. Si alguien se resiste, muéstrale el gráfico de la señal sumada: es una única curva, y sin embargo el oído extrae dos. Ahí se entiende que la descomposición no es una metáfora.
Guía de aula de FísicaEterna · CC BY 4.0 · fisicaeterna.cl
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El código que la genera
Está escrita en Remotion, que renderiza video escribiendo React. La barra y el número no están dibujados al lado de la figura: salen del cálculo sobre la misma geometría que ves. Si el dibujo miente, el número miente con él.
Licencia
Esta animación está bajo CC BY 4.0: puedes copiarla, redistribuirla, adaptarla y usarla comercialmente, citando la fuente.
Atribución sugeridaFourier: una esquina hecha con puras curvas — FísicaEterna (fisicaeterna.cl), CC BY 4.0